化 学 (物質の状態と変化)

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 【気体分子運動と圧力】

 容器に入っている気体は,容器の形状によらず,どの表面に対しても均一な圧力(気圧)を与える。
 気圧は,容積の中で並進運動する気体粒子が,容器の壁に衝突することで,力を及ぼしていると考えれば理解しやすい。
 壁への衝突で,気体粒子の運動量は変化する。運動量とは,粒子の質量と速度の積である。従って,衝突では壁と垂直な速度成分(例えばνX )が変化し,壁に平行な速度成分(例えばνY とνZ )は変化しないので,気体粒子の衝突で容器表面にかかる力は,気体粒子の容器表面に対する垂直方向の運動量変化の時間平均になる。
 
 簡単のため,辺の長さ d の立方体(体積 V = d3 )の容器に N 個の分子が存在する理想気体を考える。すなわち,質量はあるが,体積ゼロ,分子間相互作用のない気体分子を考える。

気体分子の完全弾性衝突での速度変化(模式図)

気体分子の完全弾性衝突での速度変化(模式図)

 ある分子(質量 m )が速度 νで運動しているとする。この分子が X 軸に対して垂直で圧倒的に質量の大きい壁に完全弾性衝突で跳ね返るとき,気体分子の X 軸方向の運動量成分( mνX )は,衝突後には逆方向の - mνX となる。
 従って,衝突での X 軸方向の運動量変化(⊿PX )は,
    ⊿PX = mνX - ( - mνX ) = 2 mνX
となる。
 ニュートンの運動方程式から,力 F は,ある時間変化(⊿t )での運動量変化量(⊿P )となる。壁に衝突した分子が,再度衝突するのは,X 軸方向に距離 2d 移動した時なので,時間変化量は⊿t = 2d /νX となる。従って,この分子が同じ壁に及ぼす平均的な力 F は,
     F = ⊿P /⊿t = mνX2 / d
となる。
 なお,壁が衝突した分子に及ぼす力は,分子が壁に及ぼした力 F と大きさが等しく向きが反対になる。
 
 X 軸の壁の受ける圧力 P は,容器内のすべての分子( N 個)から受ける力の総和を壁の面積( d2で割ったものとなる。従って,圧力 P は,
     P = ∑F / d2 = m ( νX12 +νX22 +・・・) / d3
となる。
 N 個の分子の X 軸方向の二乗平均速度(〈νX2 〉)は,〈νX2 〉= (νX12 +νX22 +・・・) / N となる。また,N は著しく大きい( 1モルで約 6 ×1023 個)ので,〈νX2 〉=〈νY2 〉=〈νZ2 〉と置ける。
 従って,分子の二乗平均速度(〈ν2 〉 )は,〈ν2 〉 =〈νX2 〉+〈νY2 〉+〈νZ2 〉= 3〈νX2 〉とできるので,圧力は,
     P = ∑F / d2 = N m 〈ν2 〉/ ( 3 d3 )
となる。
 分子の平均運動エネルギーは E = 1 / 2・m〈ν2 〉と置け,d3 は容器の体積( V )なので,圧力は,
     P = ( 2/3・N/V ) ・E
となる。
 この式より,圧力は分子の運動エネルギー,即ち熱エネルギーに比例することが分かる。

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