物 理 波(音波(発音体の振動))

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 ここでは,最も身近な音の発生に関し, 【発音体の振動】【弦の振動】【弦を伝わる波】【気柱の振動】【音波の速度】【気柱の振動数】 に項目を分けて紹介する。

【発音体の振動】

 ここでは,発音体として弦,気柱の振動について紹介する。

弦の振動,気柱の振動(模式図)

弦の振動,気柱の振動(模式図)

  

 【弦の振動】

 ピアノ,バイオリンやギターなどの弦楽器の音は,(string)の振動(横波が空気を振動させることで発生した疎密波(弾性波,縦波)である。この場合,弦は発音体といわれる。
 
 長さ l の弦を適当な張力 S で両端を固定し,弦をはじいて振動させた時,弦に沿って波が伝わる。
 後述するように,弦の長さと張力により定まる波は,固定端で反射し,他端の方向に向う。これの繰り返しで,弦は振動し続ける。
 このとき,弦の両端が固定されているので,両端で変位のない波,すなわち両端がとなる波のみが残り,それ以外の波は消える。なお,最も変位の大きい部位を振動のという。
 従って,振動し続ける波の波長λと弦の長さ l との間には次の関係が得られる。
       l = n λ/ 2  ∴ λ= 2 l / n
 ここで,n は整数で,弦の振動で現れる腹の数である。現れる波のうち,n = 1 の振動を基本振動,n = 2 の振動を 2 倍振動, n = 3 の振動を 3 倍振動・・・という。

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 【弦を伝わる波】

 波の速度
 張力 S ( N = kg m S-2 ) で張られた,密度ρ ( kg m-3 ) の弦が振動しているときの波の速度を求める。
 振動の変位が小さい場合に,弦の長さの変化(伸び)が無視できるとした場合に,張力 S に変化が無く一定とできる。
 弦の中で,dx 離れた 2 点が波のないときの位置から変位した時を考える。張力は弦の接線の方向に作用するので,2 点の変位前後の接線の成す角度をθとθ’ としたとき,2 点間の部分(質量 ρdx )の運動方程式( ma = F )は,
       
となる。θが小さいので,
       
と考えられる。ここで,
       
なので,運動方程式は,
       
となる。
 これは,波動方程式
       
となるので,弦を伝わる波の速さ c は,
       
 すなわち,弦を伝わる波の速さは,弦の張力 S と弦を構成する材料の密度ρで与えられる。
 
 弦の振動数(固有振動数)
 波の速さ c は,波の波長λと振動数 f の積で得られるので,振動数 f は,
       
で与えられる。
 弦の周波数固有振動数は,弦の長さ,弦の密度,張力で定まる。

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 【気柱の振動】

 フルート,トランペットなどの管楽器やパイプオルガンなどは,管の中の空気(気柱)の振動で音を伝えている。
 ここで扱う管は,両端が解放された管(開管)と,一端が閉じた管(閉管)に分けられる。
 波動の基礎で紹介したように,液体や気体では,ずれに対する弾性が無く,圧縮に対する弾性のみであるため,横波は現れず縦波(疎密波)のみが起きる。
 
 閉管の閉じた端では,空気分子が移動(変位)できないので,弦の振動の場合のとなる。従って,両端が閉じた管では,両端が固定された弦と同様に考えられる。
 一方,開いた端(管口の外は,管壁に閉じ込められた大気と異なり,自由に動ける大気が広がっている。このことは,管の内外は同じ空気分子で構成されているが,あたかも異なる媒質が管口付近で接触しているように作用する。すなわち,この境界面で音の反射が起きる。
 管内の空気は激しく振動し,圧力変動も著しいが,管口の少し外側では,一定の外気圧に保たれるので,管口付近で最も変位の大きい振動のになる。
 空気の振動のは,細い管の場合は管口の半径の概ね 0.6 倍の距離だけ外側に離れた位置にある。これを開口端補正という。
 
 従って,両端が開いた開管では,両端がとなる振動で,波の波長λと管の長さ l との間には,両端がとなる弦と同様の関係が得られる。
       l = n λ/ 2  ∴ λ= 2l/ n
 ここで,n は整数で,振動で現れる節の数である。現れる波のうち,n = 1 の振動を基本振動,n = 2 の振動を 2 倍振動, n = 3 の振動を 3 倍振動・・・という。
 
 一方,片端が閉じた閉管では,閉じた端部が,開いた端部(管口)がとなる振動である。このため,開管の波に比較して 1/ 4 波長短い波となる。
 すなわち,波の波長λと管の長さ l との間には,
       l = (2n-1)λ/ 4  ∴ λ= 4l/ (2n-1)
の関係が得られる。ここで,n は整数で,n = 1 (2n-1=1)の振動を>基本振動,n = 2 (2n-1=3)の振動を 3倍振動, n = 3 (2n-1=5)の振動を 5 倍振動・・・という。

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 【音波の速度】

 音波は疎密波で,気体中での急激な疎密振動は断熱的に起ると考え,1816年にラプラスがポアソンの法則(Poisson's law: PVγ = 一定)を用いて,圧力 P ,密度 ρの気体中の音速を導いた。
 気体の定圧比熱容量と定積比熱容量の比である比熱比 γ,気体定数 R ,気体温度 T ,気体の平均分子量 M とした時の乾燥気体中の音速 c は,
       
で与えられる。
 また,気体の状態方程式(PV=nRT),気体の密度(ρ=m/V),平均分子量(M=m/n)から RT/ MP/ ρ が得られので,
       
でも与えられる。
 
 なお,比熱比γは,分子の構造によって決まる。理想気体の場合,He などの単原子分子はγ=5/3( He 1.66 ),O2 ,N2 などの二原子分子はγ=7/5( O2 1.40 )となる。

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 【気柱の振動数】

 波の速さ c は,波の波長λと振動数 f の積で得られるので,振動数( f )は,f = c/ λで与えられるので,
 開管の周波数は,
       
で与えられ,閉管の周波数は,
       
で与えられる。すなわち,気体の状態(気圧,温度,密度など)が一定であれば,周波数は管の長さで定まる固有振動数となる。
 
 なお,厳密には,前出したように,管の長さに対しては,開口端の補正が必要である。

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