物 理 電気回路(交流回路とインピーダンス)

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 ここでは,代表的な交流回路の合成インピーダンスの求め方について, 【インピーダンスとは】【素子 1 個のインピーダンス】【素子 2 個の合成インピーダンス】【 RLC 直列回路】【 RLC 並列回路】 に項目を分けて紹介する。

【インピーダンスとは】

 インピーダンス(impedance)とは,交流回路中に抵抗,インダクタ,キャパシタが混在する場合の電流の流れ難さを表す量で,位相(phase)を考慮したものである。
 
 正弦波交流の場合の電流と電圧の位相は,抵抗( R )では電流と電圧波形が同位相であるが,インダクタでは電圧波形に対し,電流波形はπ/ 2(rad)遅れ,キャパシタでは,π/ 2(rad)進む。
 
 インピーダンスは,直流回路の電気抵抗(レジスタンス)に相当し,記号 Z ,単位Ωを用いるが,一般には複素数で表示するフェーザ表示(phasor)を用いて表される。
 複素数のインピーダンスにおいて,実数部をレジスタンスや抵抗成分,虚数部をリアクタンスという。
 なお,インピーダンスの逆数はアドミッタンス(admittance)といい,直流回路の電気伝導度(コンダクタンス)に相当し,記号 S ,単位ジーメンスを用いる。
 
 なお,フェーザ表示とは,電気工学や波動光学などにおいて正弦信号を複素数で表現する表示方法である。
 抵抗(XR ),容量性リアクタンス(XC ),誘導性リアクタンス(XL )は,虚数単位 j ,角周波数ω( rad/ s ),抵抗( R ),静電容量( C ),自己インダクタンス( L )を用いたフェーザ表示では,
       
で与えられ,交流回路では,後述するように,これらの組み合わせによる合成インピーダンス(combined impedance)となる。
 例えば RLC 直列回路の合成インピーダンス Z の大きさは,
       
で与えられる。

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 【素子が 1 個のインピーダンス】

 ここでは,基本となる回路の素子(抵抗 R ,コイル L ,コンデンサ C )が1個の場合のインピーダンスを示す。
 
 抵抗 R 1 個
 抵抗(XR = R )が 1 個の回路のインピーダンス Z は,
       Z = XR = R
で与えられ,インピーダンスの大きさ | Z | は,複素数で与えられるインピーダンスの絶対値で,
       | Z | = R
となる。
 
 コンデンサ C 1 個
 コンデンサ(容量性リアクタンス XCが 1 個の回路のインピーダンス Z は,虚数 j × j = –1 なので,
       
で与えられ,インピーダンスの大きさ | Z | は,複素数で与えられるインピーダンスの絶対値で,
       
となる。
 
 コイル L 1 個
 コイル(誘導性リアクタンス XLが 1 個の回路のインピーダンス Z は,
       Z = XL = jωL
で与えられ,インピーダンスの大きさ | Z | は,複素数で与えられるインピーダンスの絶対値で,
       
となる。

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 【素子が 2 個の合成インピーダンス】

 ここでは,回路素子として,抵抗 R ,コイル L ,コンデンサ C のうち 2 個で構成される回路の合成インピーダンス(combined impedance)を示す。
 この場合には,直列回路(series circuits)並列回路(parallel circuits)に分けられる。なお,虚数 j × j = –1 である。
 直列回路と並列回路の計算では, 分圧の法則,分流の法則を適用すると容易になる。
 
 RL 直列回路
 合成インピーダンス Z は,
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 RL 並列回路
 合成インピーダンス Z は,
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 LC 直列回路
 合成インピーダンス Z は,
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 LC 並列回路
 合成インピーダンス Z は,
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 分圧の法則,分流の法則
 キルヒホッフの法則(Kirchhoff's laws)から導き出される法則で,直流回路での電圧,電流,抵抗の計算では,下図に例示するように,電流が同じとなる抵抗の直列回路では分圧の法則(voltage divider rule),電圧が同じとなる並列回路では分流の法則(current divider rule)が用いられる。
 なお,交流回路では,抵抗を直列回路ではインピーダンス,並列回路ではインピーダンスの逆数のアドミタンス(admittance)で考えると同様の計算が可能である。

分圧・分流の法則,重ね合わせの原理,相反定理説明図

分圧・分流の法則,重ね合わせの原理,相反定理説明図

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 【RLC 直列回路】

 ここでは,回路素子として,抵抗 R ,コイル L ,コンデンサ C の 3 個が直列(series)に結ばれた回路である。
 
 合成インピーダンス Z は,
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 共振周波数
 回路に加える交流の周波数を変化させると,合成インピーダンスが変化する。ある周波数になると,インピーダンスの虚数部がゼロ(ωL – (ωC)– 1 = 0 )となり,インピーダンスの極値(抵抗値 R )が得られる周波数になる。
 この状態を共振(resonance)という。また,共振する RLC 直列回路は,特に RLC 直列共振回路と呼ばれる。
 共振状態のインピーダンスは,Z = R となるので,この時の角周波数ω0 (= 2πf0 )を RLC 直列共振回路の共振周波数という。
       
 式から分かるように,共振周波数は,コイルの自己インダクタンス L とコンデンサの静電容量 C の値で決まるので,インダクタンスと静電容量の選択で共振周波数を調整することができる。
 
 共振周波数で,インピーダンス極小となり,回路に流れる電流極大となる。この回路は,フィルタとよばれ,ある一定の周波数領域の信号だけを取り出したいときなどに使われている。

 RLC 直列回路の特徴

RLC 直列回路の特徴

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 【RLC 並列回路】

 ここでは,回路素子として,抵抗 R ,コイル L ,コンデンサ C の 3 個が並列(parallel)に結ばれた回路である。
 合成インピーダンス Z は,
       
       
 インピーダンスの大きさ | Z | は,
       
 
 共振周波数
 RLC 並列回路の共振では,インピーダンスの虚数部がゼロ( 1 – ω2LC = 0 )で,インピーダンス極大(=抵抗 R ,アドミッタンス極小)になる。この時の角周波数ω0 (= 2πf0 )を RLC 並進共振回路の共振周波数という。
 単に共振周波数といった場合は直列回路の共振周波数をいい,並列回路の共振周波数は,並列共振周波数や反共振周波数(antiresonance frequency)といわれる。
 反共振周波数ではインピーダンスが極大,すなわちアドミッタンスが極小となり,回路に流れる電流は極小となる。
       

 RLC 並列回路の特徴

RLC 並列回路の特徴

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