物 理 古典力学の基礎(運動エネルギー・位置エネルギー)

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 ここでは,力学的なエネルギーの基本分類に関し, 【運動エネルギーとは】【運動エネルギーと仕事】【位置エネルギーとは】【万有引力による位置エネルギー】【重力による位置エネルギー】【フック力による位置エネルギー】 に項目を分けて紹介する。

【運動エネルギーとは】

 運動している物体,高いところにある物体が,仕事する能力エネルギーを有していることは,感覚的に理解できる。
 ここでは,運動している物体の持つエネルギーについて考える。
 
 等速直線運動で説明されるように,速さ ν(m・s‐1 )で運動する物体は,力を加えない限り,いつまでも速度が変わらず直線運動を継続する。
 この物体の運動方向と反対向きに一定の力( F )を加え続けると,物体は徐々に減速し,遂に静止(速度ゼロ)する。すなわち,一定の力を加えている間の運動は,等加速度直線運動で表される。
 従って,物体が止まるまでの距離 x ,物体の質量 m ,加速度とすると,等加速度直線運動の式(22= 2 X を適用し,初速度の大きさ ν ,到達速度大きさ ゼロ( 0 ,加速度の大きさ-F/ m を代入すると,物体が停止するまでの距離 x = mν2/ (2 F ) が得られる。
 
 ここで,仕事の定義“力 F を受けた物体が,力の方向に x 移動(変位)した時に,ベクトルの力と変位の積内積をその力のした仕事 W という。”より,仕事 W = Fx =1/ 2・mν2 が得られる。
 すなわち,速さ ν(m・s‐1 )で運動している質量 m(kg) の物体は,1/2・mν2 (J)の仕事をする能力(エネルギー)を有しているといえる。このエネルギーを運動エネルギー(kinetic energy)という。なお,運動エネルギーは,頭文字の記号 K で表すのが一般的である。
       
 
 上記は,外から力を加えて,物体の速度を減速する例であったが,前節の仕事の例で紹介したカーリングの例の様に,外力を与えて加速する場合も同様に扱える。
 
 なお,単純な回転運動する物体の運動エネルギー(記号 K )は,慣性モーメント I と角速度 ωの2乗に比例( K=1/2・I ω2 )するが,一般的な回転運動の運動エネルギー(記号 T )は,次式で能わされる。なお,詳細は回転運動で紹介する。
       T=1/2 ( I0+mR2 ) ω2

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 【運動エネルギーと仕事】

 力や移動方向が変わることを考慮した仕事は,一般化すると,力を移動区間 a ~ b の積分で表されることを示した。
   
ここで,ニュートンの運動方程式
   
と移動区間を移動に要した時間(ta~tb)で積分した仕事とから,
   
が得られる。この結果は,区間 a ~ b で成した仕事は,b 地点での運動エネルギー( K(tb) )と a 地点での運動エネルギー( K(ta) )の差,すなわち運動エネルルギーの変化量が物体になされた仕事に等しいことを表す。
 
 エネルギーの原理
 上記の物体の運動エネルギーと仕事の関係をエネルギーの原理という。なお,位置エネルギーを含めた力学的エネルギー保存則とは異なるので,混同しないようにする。
 運動エネルギーの変化=外力のした仕事の和

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 【位置エネルギーとは】

 位置エネルギー(potential energy)は,ポテンシャルエネルギーともいい,物体のもつエネルギーのうち,力の場の中の位置だけで決まるエネルギーである。
 位置エネルギーを持つ力は,力学的な力すべてではなく,保存力(conservative force)で定義される力のみである。
 
 位置エネルギーをもつ力を保存力といい,保存力の作用する範囲内で質点が位置AからBへ運動する間になす仕事 WA-B は,地点 A の位置エネルギー U(A) と地点 B の位置エネルギー U(B) との差
       WA-BU(A) ‐U(B)
で表される。この結果は,質点の動いた経路に関わらず成立し,成した仕事はどの経路でも等しいことを示す。
 
 保存力である力は?
 位置 r での位置エネルギー(ポテンシャル) U(r) とすると,位置エネルギーの F =‐grad U(r) =‐∇U(r) で与えられるのが保存力である。なお,grad はスカラー場のベクトル微分(勾配),∇はナブラである。
 
 結論として,万有引力,重力,弾性力(ばねのフック力),クーロン力(荷電粒子間に働く力)などは保存力で,摩擦力ローレンツ力電場磁場中を運動する荷電粒子に働く力)は保存力でない。なお,クーロン力,ローレンツ力については,電磁気の章で紹介する。
 なお,保存力だけが働く力学系は,力学的エネルギー保存則が成り立つ。

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 【万有引力による位置エネルギー】

 万有引力の法則(law of universal gravitation)に従い,距離 r だけ離れた二つの質点(質量 m1 ,m2)の間に働く万有引力 F は,F =で与えられる。
 比例定数 G は万有引力定数(重力定数)といい,推奨値は,G = 6.674 08(31)×10-11(Nm2kg-2)である。
 
 距離 r だけ離れた二つの質点のうち一方を地球(質量 M )とし,他方の物体(質量 m )とした時,地球の質点の位置を原点( r=0 )とし,そこから r だけ離れた物体の位置エネルギー U(r) は,原点方向(下向き→負)の万有引力()がかかるので,距離で積分した位置エネルギーは,
       
となる。
 ここで,万有引力がゼロとなる無限遠点( r=∞ )を基準点に選ぶと,U(∞)= 0 + C= 0 となるので,
 万有引力による位置エネルギーは,
       
となる。

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 【重力による位置エネルギー】

 一般的には,
 “地球上で高さ h にある質量 m の物体が地表まで任意の経路に沿って落下するときに,重力加速度を g とすると,重力がこの物体に対して行う仕事は mgh ,この間に物体は他に対して mgh だけの仕事できるので,mgh を重力の位置エネルギーという。”
と説明されることが多い。
 
 次では,万有引力による位置エネルギーを用いて重力による位置エネルギーを求めてみる。
 ここで,地表から高さ h に質量 m の物体があるとき,この物体の位置エネルギーを考える。
 地球の中心から地表まで距離 R とした時,万有引力による位置エネルギーの式に代入する。
       
 ここで,重力による位置エネルギーを地表との比較で求めるため,地表に物体が置かれたとき,すなわち高さ h=0 における万有引力による位置エネルギーを引く。
       
 ここで,X=‐h/R とすると,第 1 項のは ‐GMm /R (1‐X) と変換でき,地表付近では, |X| <1 となるので,X を変数として無限等比級数の和の公式(テーラー展開の一種)が適用でき,
      1 /( 1‐X)X0+X1+X2+X3+・・・+Xn+・・・
とできる。
 
 地球の半径 R ≒ 6378km に対し,地表からの高さ h=100 km としても,h/ R ≒ 0.0157 と小さいので,地表付近の物体を考えた場合,2次以降の式を 0 とみなしても実用上問題とならない。
 そこで地表付近の物体の位置エネルギー E は,
       
と近似できる。
 
 地球の自転の影響を考えない場合の重力加速度 g は,地球の質量 M ,半径 R ,万有引力定数 G から g GMR‐2 で与えられるので,地表付近の物体の重力による位置エネルギーの近似式は,
       E = mgh
とできる。

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 【フック力による位置エネルギー】

 弾性力(elastic force)とは,力を加えられて変形をしている物体が,元にも戻ろうとする性質(弾性)のため,作用・反作用の法則に従い,反作用として他に及ぼす力である。
 ばねは,変形が小さいときフックの法則に従う。
 
 ここで,ばねの自然長を基準(変位 0m )とした時,ばねの変位方向と反対方向に力が発生するので,ばねの弾性力(フック力)F は,変位の大きさ x (m),ばね定数 k (Nm‐1)としたとき,
      F = ‐kx
となる。この時のばねの持つエネルギー E は,弾性エネルギーとも呼ばれる位置エネルギーで,
       
で表される。

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