物理 第二部：古典力学の基礎

　運動している物体，高いところにある物体が，仕事する能力（エネルギー）を有していることは，感覚的に理解できる。
　ここでは，運動している物体の持つエネルギーについて考える。
　
　等速直線運動で説明されるように，速さ ν（m･s^‐1 ）で運動する物体は，力を加えない限り，いつまでも速度が変わらず直線運動を継続する。
　この物体の運動方向と反対向きに一定の力（ F ）を加え続けると，物体は徐々に減速し，遂に静止（速度ゼロ）する。すなわち，一定の力を加えている間の運動は，等加速度直線運動で表される。
　従って，物体が止まるまでの距離 x ，物体の質量 m ，加速度とすると，等加速度直線運動の式（²－²＝ 2 X ）を適用し，初速度の大きさ ν ，到達速度の大きさ ゼロ（ 0 ），加速度の大きさ－F/ m を代入すると，物体が停止するまでの距離 x ＝ mν²/ (2 F ) が得られる。
　
　ここで，仕事の定義“力 F を受けた物体が，力の方向に x 移動（変位）した時に，ベクトルの力と変位の積（内積）をその力のした仕事 W という。”より，仕事 W ＝ Fx ＝1/ 2･mν² が得られる。
　すなわち，速さ ν（m･s^‐1 ）で運動している質量 m（kg） の物体は，1/2･mν² （J）の仕事をする能力（エネルギー）を有しているといえる。このエネルギーを運動エネルギー（kinetic energy）という。なお，運動エネルギーは，頭文字の記号 K で表すのが一般的である。
　　　　　　　
　
　上記は，外から力を加えて，物体の速度を減速する例であったが，前節の仕事の例で紹介したカーリングの例の様に，外力を与えて加速する場合も同様に扱える。
　
　なお，単純な回転運動する物体の運動エネルギー（記号 K ）は，慣性モーメント I と角速度 ωの2乗に比例（ K＝1/2･I ω² ）するが，一般的な回転運動の運動エネルギー（記号 T ）は，次式で能わされる。なお，詳細は回転運動で紹介する。
　　　　　　　T＝1/2 ( I₀＋mR² ) ω²
　
　【参考：基礎用語】

• 等速直線運動（uniform linear motion , linear uniform motion）
  　 等速度運動ともいわれ，物体が慣性の法則に従う運動のため，初速度の大きさと方向が維持される。
• 等加速度直線運動（uniform acceleration linear motion , linear motion of uniform acceleration）
  　 ゼロではない一定の加速度を受け続ける物質の直線運動であるが，初速度により 2 種に分けられる。
  　初速度がゼロの場合を含み，加速度と初速度が同じ方向の場合（例えば真空中の自由落下（free fall）や鉛直下方投射），加速度と初速度が反対方向の場合（例えば真空中の鉛直上方投射）が主な例として挙げられる。
  　他の例として，直進する乗り物が一定の動力，又はブレーキ力を受けて加速する場合（ただし，摩擦や空気抵抗を無視した場合）などもある。
• 仕事（work）
  　 一般的には，何かを作り出す，又は成し遂げるための行動をいう。
  　物理学では，力を受けた物体が，力の方向に移動（変位）した時に，ベクトルの力と変位の積（内積）を，その力のした仕事という。
• 内積（inner product）
  　 スカラー積ともいい，二つのベクトルの単位座標ベクトルに関する成分どうしの積の和（スカラー量）をいう。
• 万有引力（universal gravitation）
  　 地上で物体が地球に引き寄せられるだけではなく，宇宙のどこでも全ての物体は互いに gravitation（引力，重力）を及ぼしあうとの考え方をいう。
• フックの法則（Hooke's law）
  　 弾性の法則とも呼ばれ，物理学における主要な法則の一種，17世紀にイギリスの物理学者ロバート・フックが“ばねの伸びと弾性限度以下の荷重は正比例する”と提唱した近似的な法則である。
  　フックの法則が近似として成り立つ物質を線形弾性体，フック弾性体 (Hookean elastic material) という。

　力や移動方向が変わることを考慮した仕事は，一般化すると，力を移動区間 a ～ b の積分で表されることを示した。
　　　
ここで，ニュートンの運動方程式
　　　
と移動区間を移動に要した時間（ta～tb）で積分した仕事とから，
　　　
が得られる。この結果は，区間 a ～ b で成した仕事は，b 地点での運動エネルギー（ K(tb) ）と a 地点での運動エネルギー（ K(ta) ）の差，すなわち運動エネルルギーの変化量が物体になされた仕事に等しいことを表す。
　
　エネルギーの原理
　上記の物体の運動エネルギーと仕事の関係をエネルギーの原理という。なお，位置エネルギーを含めた力学的エネルギー保存則とは異なるので，混同しないようにする。
　運動エネルギーの変化＝外力のした仕事の和

　位置エネルギー（potential energy）は，ポテンシャルエネルギーともいい，物体のもつエネルギーのうち，力の場の中の位置だけで決まるエネルギーである。
　位置エネルギーを持つ力は，力学的な力すべてではなく，保存力（conservative force）で定義される力のみである。
　
　位置エネルギーをもつ力を保存力といい，保存力の作用する範囲内で質点が位置AからBへ運動する間になす仕事 W_A-B は，地点 A の位置エネルギー U(A) と地点 B の位置エネルギー U(B) との差
　　　　　　　W_A-B＝ U(A) ‐U(B)
で表される。この結果は，質点の動いた経路に関わらず成立し，成した仕事はどの経路でも等しいことを示す。
　
　保存力である力は？
　位置 r での位置エネルギー（ポテンシャル）を U(r) とすると，位置エネルギーの F ＝‐grad U(r) ＝‐∇U(r) で与えられるのが保存力である。なお，grad はスカラー場のベクトル微分（勾配），∇はナブラである。
　
　結論として，万有引力，重力，弾性力（ばねのフック力），クーロン力（荷電粒子間に働く力）などは保存力で，摩擦力，ローレンツ力（電場や磁場中を運動する荷電粒子に働く力）は保存力でない。なお，クーロン力，ローレンツ力については，電磁気の章で紹介する。
　なお，保存力だけが働く力学系は，力学的エネルギー保存則が成り立つ。

　万有引力の法則（law of universal gravitation）に従い，距離 r だけ離れた二つの質点（質量 m1 ，m2）の間に働く万有引力 F は，F ＝で与えられる。
　比例定数 G は万有引力定数（重力定数）といい，推奨値は，G ＝ 6.674 08(31)×10^－11（Nm²kg^－2）である。
　
　距離 r だけ離れた二つの質点のうち一方を地球（質量 M ）とし，他方の物体（質量 m ）とした時，地球の質点の位置を原点（ r＝0 ）とし，そこから r だけ離れた物体の位置エネルギー U(r) は，原点方向（下向き→負）の万有引力（）がかかるので，距離で積分した位置エネルギーは，
　　　　　　　
となる。
　ここで，万有引力がゼロとなる無限遠点（ r＝∞ ）を基準点に選ぶと，U(∞)＝ 0 ＋ C＝ 0 となるので，
　万有引力による位置エネルギーは，
　　　　　　　
となる。

　一般的には，
　“地球上で高さ h にある質量 m の物体が地表まで任意の経路に沿って落下するときに，重力加速度を g とすると，重力がこの物体に対して行う仕事は mgh ，この間に物体は他に対して mgh だけの仕事できるので，mgh を重力の位置エネルギーという。”
と説明されることが多い。
　
　次では，万有引力による位置エネルギーを用いて重力による位置エネルギーを求めてみる。
　ここで，地表から高さ ｈ に質量 m の物体があるとき，この物体の位置エネルギーを考える。
　地球の中心から地表まで距離 R とした時，万有引力による位置エネルギーの式に代入する。
　　　　　　　
　ここで，重力による位置エネルギーを地表との比較で求めるため，地表に物体が置かれたとき，すなわち高さ h＝0 における万有引力による位置エネルギーを引く。
　　　　　　　
　ここで，X=‐h/R とすると，第 1 項のは ‐GMm /R (1‐X) と変換でき，地表付近では， |X| ＜1 となるので，X を変数として無限等比級数の和の公式（テーラー展開の一種）が適用でき，
　　　　　　1 /( 1‐X) ＝ X⁰＋X¹＋X²＋X³＋・・・＋Xⁿ＋・・・
とできる。
　
　地球の半径 R ≒ 6378km に対し，地表からの高さ h＝100 km としても，h/ R ≒ 0.0157 と小さいので，地表付近の物体を考えた場合，2次以降の式を 0 とみなしても実用上問題とならない。
　そこで地表付近の物体の位置エネルギー E は，
　　　　　　　
と近似できる。
　
　地球の自転の影響を考えない場合の重力加速度 g は，地球の質量 M ，半径 R ，万有引力定数 G から g ＝ GMR^‐2 で与えられるので，地表付近の物体の重力による位置エネルギーの近似式は，
　　　　　　　E ＝ mgh
とできる。

　弾性力（elastic force）とは，力を加えられて変形をしている物体が，元にも戻ろうとする性質（弾性）のため，作用・反作用の法則に従い，反作用として他に及ぼす力である。
　ばねは，変形が小さいときフックの法則に従う。
　
　ここで，ばねの自然長を基準（変位 0m ）とした時，ばねの変位方向と反対方向に力が発生するので，ばねの弾性力（フック力）F は，変位の大きさ x （m），ばね定数 k （Nm^‐1）としたとき，
　　　　　　F = ‐kx
となる。この時のばねの持つエネルギー E は，弾性エネルギーとも呼ばれる位置エネルギーで，
　　　　　　　
で表される。