物理 第三部：流体の物理

　前節の流体の運動で紹介したように，ベルヌーイの定理（Bernoulli's theorem）により流体の挙動を平易に表すことができ，力学的エネルギー保存の法則に相当する定理である。
　
　ベルヌーイの式は，外力が保存力であること，密度が圧力のみの関数となるバルトロピー流体であることに加えて，適用する完全流体の分類に応じて，定常流の条件で成り立つものと，渦なしの流れの条件で成り立つものに分けられる。
　
　定常流におけるベルヌーイの定理
　外力が保存力で，非粘性のバルトロピー流体の定常な流れで，速度ベクトルν，圧力 p ，密度ρ，外力 f のポテンシャルΩ（ f =－∇Ω）としたとき，
　　　　　　　
が流線上のみで成り立つ。
　一様な重力場で，重力加速度の大きさ g ，鉛直方向の座標 z とすると，
　　　　　　　
と書ける。
　
　【参考：基礎用語】

• ベルヌーイ（Daniel Bernoulli）
  　ダニエル・ベルヌーイ（1700年～1782年）は，スイスの数学者・物理学者。1738年に『流体力学』を出版。ベルヌーイの定理「空気や水の流れがはやくなると，そのはやくなった部分は圧力が低くなる。はやく流れるほど圧力は下がる。」など，流体力学の基礎を築いた。
• 完全流体（perfect fluid）
  　理想流体（ideal fluid），非粘性流体（inviscid fluid）ともいわれ，理想化して粘性を無視した取扱いをする仮想的な流体で，ベルヌーイの定理が成り立つ。
  　粘性が存在しないことは，流体が運動してもせん断応力（接線応力）が作用しないことと同義で，いわば力学での摩擦力の無視と同等に考えられる。
• 定常流（steady flow）
  　流管の中のある点を採った時，その点での流速が時間と共に変化しない流れをいう。
• バルトロピー流体
  　多くの流体では，密度が一定（ρ＝一定）であったり，圧力が密度に依存（ p(ρ) ）したりする。圧力が密度に依存することを順圧（barotropic）やバルトロピックといい，この性質の流体をバルトロピー流体という。
  　従って，バルトロピー流体では，最終的な未知変数は速度（μ，ν，ω）と圧力 p の 4 つになる。

　下図のように，密度ρの非圧縮性完全流体の流れに流管をとり，任意の 2 点（ A ，B ）を考える。
　各点の高さを Z_A ，Z_B とし，流速を v_A ，v_B ，断面積を dS_A ，dS_B ，断面に鉛直方向の圧力を p_A ，p_B とする。
　時刻 t で A ，B 内にあった流体が，時刻 t + dt に A’，B’に移動した時の仕事（ dW ）とエネルギー変化量（ dE ）を考える。
　
　仕事（ dW ）
　仕事は，物体に作用する力と力の方向への移動距離の積で得られる。
　圧力は流管の側面からも作用するが，流体の運動に垂直な力は仕事をしないので， A ，B の断面に対し鉛直方向に作用する圧力を用いて，流体に作用する力は，
　　　　断面 A：p_A dS_A
　　　　断面 B：- p_B dS_B
となる。
　dt 時間後の流体の移動距離は，
　　　　断面 A：v_A dt
　　　　断面 B：v_B dt
となるので，仕事 dW は，
　　　　　　　dW ＝p_A dS_A･v_A dt－p_B dS_B･v_B dt
となる。
　
　エネルギー変化量（ dE ）
　A ，B 内の流体が，dt 時間後に，A’，B’に移動している。従って，この間のエネルギー変化量 dE は，
　　　　　　　dE ＝（ A’，B’間のエネルギー）－（ A ，B 間のエネルギー）
で与えられるが，A’と B の間の変化はないと仮定できるので，
　　　　　　　dE ＝（ B ，B’間のエネルギー）－（ A ，A’間のエネルギー）
とできる。
　従って，B ，B’間の流体の質量（ρdS_B･v_B dt ），重力加速度 g ，高さ Z_B とから
　　　　位置エネルギー（ U_B ）：ρdS_B･v_B dt･g Z_B
　　　　運動エネルギー（ K_B ）：ρdS_B･v_B dt･1/2 v_B²
とできる。
　A ，A’間のエネルギーも同様にして与えられるので，エネルギー差 dE は，
　　　　dE ＝（ U_B＋K_B ）－（ U_A＋K_A ）
となる。
　
　エネルギー差は，成した仕事と一致（ dW＝dE ）する。また，非圧縮性流体であるため，移動した流体の体積は，dS_B･v_B dt ＝ dS_A･v_A dt とできる。
　従って，以上をまとめると，
　　　　　　　
となり，両辺を密度で割ることで，一つの流管に関するベルヌーイの式
　　　　　　　
が得られる。

• 仕事（work）
  　物理学においては，力 F を受けた物体が，力の方向に x 移動（変位）した時に，ベクトルの力と変位の積（内積）を，その力のした仕事 W（＝Fx ）という。
  　エネルギーは，“物体や系が持つ仕事をする能力”と定義され，仕事の前後のエネルギー差（ dE ）が仕事 W に相当する。
• 運動エネルギー（kinetic energy）
  　運動エネルギー（ K ）は，質量 m の物体の運動に伴うエネルギーで，物体の速度 v を変化させる際に必要な仕事で，K = 1/2 mv² で表される。
• 位置エネルギー（potential energy）
  　位置エネルギー（ U ）は，物体が「ある位置」にあることで物体が持つ（蓄えられた）エネルギーで，重力場（重力加速度 g ）で質量 m の物体が高さ（ h ）にあるときの位置エネルギーは，U＝ mgh で表される。
• 非圧縮性流体（incompressible fluid）
  　一般に圧力によって流体の密度が変化するので圧縮性流体（compressible fluid）と呼ばれるが，流体の速度（圧力変化）が小さく，密度の変化が無視できる場合には非圧縮性流体として扱われる。
• エネルギー保存の法則（law of the conservation of energy）
  　“閉じた系（外界とエネルギーの出入りが無い系）において，エネルギーの移動，形態の変更などによっても，その総量が変化しない”と定義され，物理学における保存則（conservation law）の一つで，短縮してエネルギー保存則ともいわれる。
  　19 世紀までに力学的エネルギー保存の法則（principle of mechanical energy）が確立され，その後に熱現象も含めた熱力学の第一法則（孤立系のエネルギーの総量は変化しない）がマイヤー，ジュール，ヘルムホルツらにより確立されたことで，音，光，電磁気，化学変化，原子核反応等を含めた自然現象を支配する基礎法則となった。

　ベンチュリ管（Venturi tube）
　イタリアの物理学者ジョヴァンニ・バッティスタ・ヴェントゥーリが発明したもので，流体の流れを絞ることで流速を増加させ，低速部にくらべて低い圧力を発生するベンチュリ効果（Venturi effect）を応用した管で，流量計，霧吹き，キャブレター，エアブラシなどに利用されている。
　太い部分の断面を A ，細い部分の断面を B とした時，非圧縮性流体の場合，各断面を単位時間に通過する流体の量（流速×断面積）は同一であり，
　　　　　　　v_AS_A ＝ v_BS_B ＝ Q （連続の方程式という）
となり，断面積の小さい方の流速が増加することが分かる。
　一方ベルヌーイの式から，
　　　　　　　
とでき，断面 A と B が水平の位置，すなわち高低差がない場合は Z_A ＝ Z_B となるので，連続の方程式とから圧力差を求めると，
　　　　　　　
となり，断面積の小さい方，流速の大きい方の圧力が低くなる，また，断面積の異なる箇所の圧力差を求めることで，流量 Q を求めることができる。
　
　ピトー管（pitot tube）
　フランスの物理学者アンリ・ピトーが発明した流体の流れの速さを測定する計測器で，航空機の速度計や風洞などに使用されている。
　ピトー管は，二重になった管を基本構造とし，内側の管は先端部分 A に，外側の管は側面 B に穴が空き，二つの管の奥の圧力計で圧力差（動圧という）を測定することで流速が求められる。
　流速 v の流体中にピトー管の先端を流速に向き合うように配した場合には，先端部分 A では流れが妨げられるので流速 v_A ＝ 0 となる。一方，側面の穴 B の周辺は，粘性の低い流体では側面の影響をほとんど受けず，v_B ⋍ v とできる。
　ベルヌーイの式において，流体の密度ρ，先端の穴と側面の穴の高低差が無視できる（ z_A ＝ z_B）場合には，動圧（圧力差）と流速は，
　　　　　　　
で与えられる。
　実際には，穴の部分が流速に影響するため，精確な速度の算出では，個々のピトー管において，実験的に求められた補正係数が必要になる。

• ベンチュリ効果（Venturi effect）
  　流体の流路において，部分的に断面積を狭めたとき，流体の流速が増加し，圧力の低い部分が作り出される現象をいう。流量を一定にした場合のベルヌーイの定理から導かれる。
• 動圧（dynamic pressure）
  　ベルヌーイの定理における流体の運動エネルギーを表わす項 1/2 ρv² をいう。

　エネルギー保存の法則（law of the conservation of energy），すなわち物理的・化学的変化において，これに関与する各種のエネルギーの総和が，変化の前後で変らないという法則が成立する。
　流体の場合は，単位重量当りの運動エネルギー，位置エネルギーを長さの次元を持つ流体の高さ（高度差）で表すことがある。これは水頭（hydraulic head）又はヘッド（head）といわれる。
　
　水頭には，運動エネルギーに相当する速度水頭（velocity head），位置エネルギーに相当する位置（高度）水頭（elevation head），圧力水頭（pressure head）がある。この他に，流路の影響（管の摩擦，曲がりなど）で失われるエネルギーを損失水頭（loss of head , head loss）という。これらの総和を全水頭（total head）という。
　
　エネルギー保存の法則と同様に，一様重力のもとでの完全流体（非粘性・非圧縮流体）の定常な流れに対して全水頭は一定である。
　圧力 p ，密度ρ，重力加速度 g ，流速 v ，高低差 h とした時，
　　　　　　　
　この式は，ベルヌーイの式の両辺を重力加速度 g で除した式と同等である。