物 理 流体(ベルヌーイの定理)

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 ここでは,ベルヌーイの定理に関連し, 【ベルヌーイの定理とは】【エネルギー保存とベルヌーイの式】【ベンチュリ管,ピトー管】【水頭とは(エネルギー保存)】 に項目を分けて紹介する。

【ベルヌーイの定理とは】

 前節の流体の運動で紹介したように,ベルヌーイの定理(Bernoulli's theorem)により流体の挙動を平易に表すことができ,力学的エネルギー保存の法則に相当する定理である。
 
 ベルヌーイの式は,外力が保存力であること,密度が圧力のみの関数となるバルトロピー流体であることに加えて,適用する完全流体の分類に応じて,定常流の条件で成り立つものと,渦なしの流れの条件で成り立つものに分けられる。
 
 定常流におけるベルヌーイの定理
 外力が保存力で,非粘性のバルトロピー流体の定常な流れで,速度ベクトルν,圧力 p ,密度ρ,外力 f のポテンシャルΩ( f =-∇Ω)としたとき,
       
流線上のみで成り立つ。
 一様な重力場で,重力加速度の大きさ g ,鉛直方向の座標 z とすると,
       
と書ける。

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 【エネルギー保存とベルヌーイの式】

 下図のように,密度ρの非圧縮性完全流体の流れに流管をとり,任意の 2 点( AB )を考える。
 各点の高さを ZAZB とし,流速を vAvB ,断面積を dSAdSB ,断面に鉛直方向の圧力を pApB とする。
 時刻 tAB 内にあった流体が,時刻 t + dt A’B’に移動した時の仕事( dW )エネルギー変化量( dE )を考える。
 
 仕事( dW )
 仕事は,物体に作用する力と力の方向への移動距離の積で得られる。
 圧力は流管の側面からも作用するが,流体の運動に垂直な力は仕事をしないので, A B の断面に対し鉛直方向に作用する圧力を用いて,流体に作用する力は,
    断面 ApA dSA
    断面 B:- pB dSB
となる。
 dt 時間後の流体の移動距離は,
    断面 AvA dt
    断面 BvB dt
となるので,仕事 dW は,
       dW =pA dSA・vA dt-pB dSB・vB dt
となる。
 
 エネルギー変化量( dE )
 AB 内の流体が,dt 時間後に,A’B’に移動している。従って,この間のエネルギー変化量 dE は,
       dE =( A’B’間のエネルギー)-( AB 間のエネルギー)
で与えられるが,A’B の間の変化はないと仮定できるので,
       dE =( BB’間のエネルギー)-( A A’間のエネルギー)
とできる。
 従って,BB’間の流体の質量(ρdSB・vB dt ),重力加速度 g ,高さ ZB とから
    位置エネルギー( UB ):ρdSB・vB dt・g ZB
    運動エネルギー( KB ):ρdSB・vB dt・1/2 vB2
とできる。
 AA’間のエネルギーも同様にして与えられるので,エネルギー差 dE は,
    dE =( UBKB )-( UAKA
となる。
 
 エネルギー差は,成した仕事と一致( dW=dE )する。また,非圧縮性流体であるため,移動した流体の体積は,dSB・vB dt = dSA・vA dt とできる。
 従って,以上をまとめると,
       
となり,両辺を密度で割ることで,一つの流管に関するベルヌーイの式
       
が得られる。

完全流体の運動とエネルギー

完全流体の運動とエネルギー

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 【ベンチュリ管,ピトー管】

 ベンチュリ管(Venturi tube)
 イタリアの物理学者ジョヴァンニ・バッティスタ・ヴェントゥーリが発明したもので,流体の流れを絞ることで流速を増加させ,低速部にくらべて低い圧力を発生するベンチュリ効果(Venturi effect)を応用した管で,流量計,霧吹き,キャブレター,エアブラシなどに利用されている。
 太い部分の断面を A ,細い部分の断面を B とした時,非圧縮性流体の場合,各断面を単位時間に通過する流体の量(流速×断面積)は同一であり,
       vASAvBSBQ (連続の方程式という)
となり,断面積の小さい方の流速が増加することが分かる。
 一方ベルヌーイの式から,
       
とでき,断面 AB が水平の位置,すなわち高低差がない場合は ZAZB となるので,連続の方程式とから圧力差を求めると,
       
となり,断面積の小さい方,流速の大きい方の圧力が低くなる,また,断面積の異なる箇所の圧力差を求めることで,流量 Q を求めることができる。
 
 ピトー管(pitot tube)
 フランスの物理学者アンリ・ピトーが発明した流体の流れの速さを測定する計測器で,航空機の速度計や風洞などに使用されている。
 ピトー管は,二重になった管を基本構造とし,内側の管は先端部分 A に,外側の管は側面 B に穴が空き,二つの管の奥の圧力計で圧力差動圧という)を測定することで流速が求められる。
 流速 v の流体中にピトー管の先端を流速に向き合うように配した場合には,先端部分 A では流れが妨げられるので流速 vA = 0 となる。一方,側面の穴 B の周辺は,粘性の低い流体では側面の影響をほとんど受けず,vB v とできる。
 ベルヌーイの式において,流体の密度ρ,先端の穴と側面の穴の高低差が無視できる( zA = zB)場合には,動圧(圧力差)と流速は,
       
で与えられる。
 実際には,穴の部分が流速に影響するため,精確な速度の算出では,個々のピトー管において,実験的に求められた補正係数が必要になる。

ベンチュリ管,ピトー管

ベンチュリ管,ピトー管

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 【水頭とは(エネルギー保存)】

 エネルギー保存の法則(law of the conservation of energy),すなわち物理的・化学的変化において,これに関与する各種のエネルギーの総和が,変化の前後で変らないという法則が成立する。
 流体の場合は,単位重量当りの運動エネルギー,位置エネルギーを長さの次元を持つ流体の高さ(高度差)で表すことがある。これは水頭(hydraulic head)又はヘッド(head)といわれる。
 
 水頭には,運動エネルギーに相当する速度水頭(velocity head),位置エネルギーに相当する位置(高度)水頭(elevation head),圧力水頭(pressure head)がある。この他に,流路の影響(管の摩擦,曲がりなど)で失われるエネルギーを損失水頭(loss of head , head loss)という。これらの総和を全水頭(total head)という。
 
 エネルギー保存の法則と同様に,一様重力のもとでの完全流体(非粘性・非圧縮流体)の定常な流れに対して全水頭は一定である。
 圧力 p ,密度ρ,重力加速度 g ,流速 v ,高低差 h とした時,
       
 この式は,ベルヌーイの式の両辺を重力加速度 g で除した式と同等である。

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